Toets |Getal & Ruimte 12e ed |Havo/vwo |Klas 2 |Hoofdstuk 2 |Versie A
Tussen haakjes staat bij welke paragraaf de vraag hoort.
Kennis
1) Beantwoord de volgende vragen.
- a) Wat is de formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen? (Voorkennis)
- b) Wat is de middelloodlijn van lijnstuk
uit de afbeelding hieronder: is dat lijn
of lijn
? (2)
- c) Welke 3 bijzondere lijnen in een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek? (3)
- d) Wat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel? (5)
- e) Wat is de formule voor de oppervlakte van een parallellogram? (6)
- f) Wat is de formule voor de oppervlakte van een trapezium? (7) (alleen vwo)
2) Arceer het buitengebied van in deze afbeelding. (1)
Begrip
3) Teken punt en teken vervolgens
. (1)
4) Aan welke 2 eisen moet een lijn voldoen om de middelloodlijn te zijn van het lijnstuk tussen punten en
? (2)
5) Liggen de punten van een driehoek op de ingeschreven cirkel of op de omgeschreven cirkel van de driehoek? (3)
6) Vul in: de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is ……. . (4)
7) Leg uit waarom de formule voor de oppervlakte van een driehoek en de formule voor de oppervlakte van een parallellogram op elkaar lijken. (6)
Toepassen
8)
- a) Teken punt
en teken
. (1)
- b) Kleur de punten die op afstand
van punt
liggen en waarvan de afstand tot de
-as minder dan
is. (1)
9)
- a) Teken de punten
en
en kleur alle punten rood die even ver van
als van
liggen. (2)
- b) Teken punt
en teken
.
- c) Teken de omgeschreven cirkel van
. (2)
10) Gegeven is hoek : zie afbeelding.
- a) Kleur alle punten blauw die even ver van de benen van
liggen. (3)
- b) Teken de punten
en teken driehoek
.
- c) Teken de ingeschreven cirkel van
. (3)
11) Sara meet met een touw de omtrek van de stam van de oude beuk in haar straat. De stam is vrijwel perfect cirkelvormig. De omtrek van de stam is meter.
- a) Wat is de diameter van de stam in centimeters? (4)
Helaas is de beuk ziek en wordt hij gerooid. Sara krijgt een schijf van de stam. - b) Wat is de oppervlakte, afgerond in
, van de stamschijf? (5)
12) Deze figuur is opgebouwd uit onder andere een parallellogram en een trapezium.
- a) Bereken de oppervlakte van de parallellogram. (6)
- b) Bereken de oppervlakte van het trapezium. (7) (alleen vwo)
- c) Bereken de oppervlakte van de totale figuur. (6)
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2001:1c00:1608:e00:958e:5779:d637:8892 | 08-03-2021
Uitwerkingen worden niet geprint maar zijn altijd terug te vinden in jouw persoonlijke overzicht
Uitwerkingen
Weet je zeker dat je de uitwerking wilt bekijken? Zorg eerst dat je alle opgaven hebt gemaakt.
Tussen haakjes staat bij welke paragraaf de vraag hoort.
Kennis
1) Beantwoord de volgende vragen.
- a) Wat is de formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen? (Voorkennis)
- b) Wat is de middelloodlijn van lijnstuk
(zie onderstaande afbeelding): is dat lijn
of lijn
? (2)
- c) Welke 3 bijzondere lijnen in een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek? (3)
- d) Wat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel? (5)
- e) Wat is de formule voor de oppervlakte van een parallellogram? (6)
- f) Wat is de formule voor de oppervlakte van een trapezium? (7) (alleen vwo)
Uitwerking:
- a) Oppervlakte driehoek =
x zijde x bijbehorende hoogte.
- b) Lijn
, want loopt door het midden van lijnstuk
en staat loodrecht op lijnstuk
.
- c) De 3 bissectrices van de hoeken in de driehoek.
- d) Oppervlakte cirkel =
.
- e) Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte.
- f) Oppervlakte trapezium =
of
Oppervlakte trapezium =x som van de evenwijdige zijden x hoogte.
2) Arceer het buitengebied van in deze afbeelding. (1)
Uitwerking:
Begrip
3) Teken punt en teken vervolgens
. (1)
Uitwerking:
- Hier wordt gevraagd om de cirkel te tekenen met middelpunt
en straal 5 (cm):
4) Aan welke 2 eisen moet een lijn voldoen om de middelloodlijn te zijn van het lijnstuk tussen punten en
? (2)
Uitwerking:
- Eis 1: de middelloodlijn is een loodlijn op lijnstuk
.
- Eis 2: de middelloodlijn snijdt lijnstuk
in het midden.
5) Liggen de punten van een driehoek op de ingeschreven cirkel of op de omgeschreven cirkel van de driehoek? (3)
Uitwerking:
- De drie hoeken van een driehoek liggen op de omgeschreven cirkel: de rest van de driehoek ligt binnen de omgeschreven cirkel.
De ingeschreven cirkel raakt de drie zijden en ligt verder helemaal binnen de driehoek.
6) Vul in: de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is ……. . (4)
Uitwerking:
- De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is
,
- of
- De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is
.
7) Leg uit waarom de formule voor de oppervlakte van een driehoek en de formule voor de oppervlakte van een parallellogram op elkaar lijken. (6)
Uitwerking:
- Als je de parallellogram met behulp van een diagonaal door midden deelt, ontstaan er twee dezelfde driehoeken.
- De oppervlakte van zo’n driehoek is
x zijde x bijbehorende hoogte.
- De oppervlakte van de parallellogram is tweemaal zo groot en dus gelijk aan zijde x bijbehorende hoogte.
Toepassen
8)
- a) Teken punt
en teken
. (1)
- b) Kleur de punten die op afstand
van punt
liggen en waarvan de afstand tot de
-as minder dan
is. (1)
Uitwerking:
- Zie de afbeelding. De punten die precies op afstand
van de
-as liggen zijn hierin getekend als verticale stippellijnen. De punten uit vraag b) zijn dik en rood getekend.
9)
- a) Teken de punten
en
en kleur alle punten rood die even ver van
als van
liggen. (2)
- b) Teken punt
en teken
.
- c) Teken de omgeschreven cirkel van
. (2)
Uitwerking:
- a) De punten die even ver van
als van
liggen vormen de middelloodlijn van lijnstuk
:
- b) Zie uitwerking vraag c) hieronder.
- c) In de afbeelding zie je nog een tweede middelloodlijn (op lijnstuk
). Het punt waar de twee middelloodlijnen elkaar snijden, is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zet je passerpunt daar vast en zet het potlood van de passer in punt
: de cirkel die je dan tekent, is de omgeschreven cirkel.
10) Gegeven is hoek : zie afbeelding.
- a) Kleur alle punten blauw die even ver van de benen van
liggen. (3)
- b) Teken de punten
en teken driehoek
.
- c) Teken de ingeschreven cirkel van
. (3)
Uitwerking:
- a) Dit zijn de punten die samen de bissectrice van
vormen. Zie de afbeelding:
- b) Zie uitwerking vraag c) hieronder.
- c) In de afbeelding zie je nog een bissectrice getekend, dat is de bissectrice van
. Het punt waar de twee bissectrices elkaar snijden, is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Teken een lijnstuk loodrecht op de
-as en noem het snijpunt met de
-as
. Zet nu je passerpunt vast in het middelpunt en zet het potlood van de passer in punt
: de cirkel die je dan tekent, is de ingeschreven cirkel.
11) Sara meet met een touw de omtrek van de stam van de oude beuk in haar straat. De stam is vrijwel perfect cirkelvormig. De omtrek van de stam is meter.
- a) Wat is de diameter van de stam in centimeters? (4)Helaas is de beuk ziek en wordt hij gerooid. Sara krijgt een schijf van de stam.
- b) Wat is de oppervlakte, afgerond in
, van de stamschijf? (5)
Uitwerking:
- a)
- De omtrek is
meter, dat is
centimeter;
- De formule is: omtrek cirkel
diameter;
- Daarom geldt
diameter;
- Aan beide zijden van de
deel je nu door
dus
diameter;
- De diameter is
centimeter.
- De omtrek is
- b)
- De formule is: oppervlakte cirkel
;
- De straal is de helft van de diameter:
centimeter;
- Oppervlakte cirkel is dus
.
Tip: Let op dat je in deze laatste stap nog omrekent vannaar
!
- De formule is: oppervlakte cirkel
12) Deze figuur is opgebouwd uit onder andere een parallellogram en een trapezium.
- a) Bereken de oppervlakte van de parallellogram. (6)
- b) Bereken de oppervlakte van het trapezium. (7) (alleen vwo)
- c) Bereken de oppervlakte van de totale figuur. (6)
Uitwerking:
- a)
- Links in de figuur zie je een parallellogram met zijde
en bijbehorende hoogte
;
- De formule is: oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte ;
- Dus oppervlakte parallellogram =
.
- Links in de figuur zie je een parallellogram met zijde
- b)
- Rechts in de figuur zie je een trapezium met evenwijdige zijden van
en van
lang;
- De hoogte is
;
- De formule is: oppervlakte trapezium =
x som van de evenwijdige zijden x hoogte;
- Dus oppervlakte trapezium =
.
- Rechts in de figuur zie je een trapezium met evenwijdige zijden van
- c) Je kunt dit op drie manieren berekenen.
- Manier 1:
- Als je van de parallellogram uit vraag a) het driehoekje met zijde
en hoogte
afhaalt, houd je van de oppervlakte van de parallellogram
over;
- De rest van de figuur bestaat dan nog uit een rechthoek van lengte
en hoogte
.
- De totale oppervlakte is daarom
.
Manier 2: - De figuur past in een rechthoek van lengte
en breedte
.
- Deze rechthoek heeft oppervlakte
.
- Maar nu zit er een driehoek te veel in: deze zit links boven en heeft zijde
en hoogte
.
- De oppervlakte van de getekende figuur is daarom
.
Manier 3 (alleen vwo): - De figuur bestaat uit de parallellogram van vraag a) plus het trapezium van vraag b) plus een driehoekje met zijde
en hoogte
.
- De totale oppervlakte is:
.