0

Toets |Getal & Ruimte 12e ed |Havo/vwo |Klas 2 |Hoofdstuk 2 |Versie A

Tussen haakjes staat bij welke paragraaf de vraag hoort.

Kennis

1) Beantwoord de volgende vragen.

  • a) Wat is de formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen? (Voorkennis)
  • b) Wat is de middelloodlijn van lijnstuk AB uit de afbeelding hieronder: is dat lijn l of lijn k? (2)
  • c) Welke 3 bijzondere lijnen in een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek? (3)
  • d) Wat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel? (5)
  • e) Wat is de formule voor de oppervlakte van een parallellogram? (6)
  • f) Wat is de formule voor de oppervlakte van een trapezium? (7) (alleen vwo)

2) Arceer het buitengebied van \odot(M,3) in deze afbeelding. (1)

Begrip

3) Teken punt A(4,3) en teken vervolgens \odot(A,5). (1)

 

4) Aan welke 2 eisen moet een lijn voldoen om de middelloodlijn te zijn van het lijnstuk tussen punten A en B? (2)

 

5) Liggen de punten van een driehoek op de ingeschreven cirkel of op de omgeschreven cirkel van de driehoek? (3)

 

6) Vul in: de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is 1 : ……. . (4)

 

7) Leg uit waarom de formule voor de oppervlakte van een driehoek en de formule voor de oppervlakte van een parallellogram op elkaar lijken. (6)

 

Toepassen

8) 

  • a) Teken punt M(3,2) en teken \odot(M,4) . (1)
  • b) Kleur de punten die op afstand 4 van punt M liggen en waarvan de afstand tot de y-as minder dan 2 is. (1)

 

9) 

  • a) Teken de punten P(1,0) en Q(6,-1) en kleur alle punten rood die even ver van P als van Q liggen. (2)
  • b) Teken punt R(1,5) en teken \bigtriangleup PQR .
  • c) Teken de omgeschreven cirkel van \bigtriangleup PQR . (2)

 

10) Gegeven is hoek A : zie afbeelding.

 

  • a) Kleur alle punten blauw die even ver van de benen van \angle A liggen. (3)
  • b) Teken de punten P(4,0) en teken driehoek OPA.
  • c) Teken de ingeschreven cirkel van \bigtriangleup OPA. (3)

 

11) Sara meet met een touw de omtrek van de stam van de oude beuk in haar straat. De stam is vrijwel perfect cirkelvormig. De omtrek van de stam is 1,82 meter.

  • a) Wat is de diameter van de stam in centimeters? (4)

    Helaas is de beuk ziek en wordt hij gerooid. Sara krijgt een schijf van de stam. 
  • b) Wat is de oppervlakte, afgerond in dm^2, van de stamschijf? (5)

 

12) Deze figuur is opgebouwd uit onder andere een parallellogram en een trapezium.

  • a) Bereken de oppervlakte van de parallellogram. (6)
  • b) Bereken de oppervlakte van het trapezium. (7) (alleen vwo)
  • c) Bereken de oppervlakte van de totale figuur. (6)

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Deze inhoud is auteursrechtelijk beschermd en mag niet worden gedeeld. | Jouw gegevens: | | 2a01:4f8:242:4322::2 | 14-06-2021

Uitwerkingen worden niet geprint maar zijn altijd terug te vinden in jouw persoonlijke overzicht

Uitwerkingen

Weet je zeker dat je de uitwerking wilt bekijken? Zorg eerst dat je alle opgaven hebt gemaakt.

Bekijk uitwerkingen

Tussen haakjes staat bij welke paragraaf de vraag hoort.

Kennis

1) Beantwoord de volgende vragen.

  • a) Wat is de formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen? (Voorkennis)
  • b) Wat is de middelloodlijn van lijnstuk AB (zie onderstaande afbeelding): is dat lijn l of lijn k? (2)
  • c) Welke 3 bijzondere lijnen in een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek? (3)
  • d) Wat is de formule voor de oppervlakte van een cirkel? (5)
  • e) Wat is de formule voor de oppervlakte van een parallellogram? (6)
  • f) Wat is de formule voor de oppervlakte van een trapezium? (7) (alleen vwo)

Uitwerking:

  • a) Oppervlakte driehoek = \frac{1}{2} x zijde x bijbehorende hoogte.
  • b) Lijn l, want loopt door het midden van lijnstuk AB en staat loodrecht op lijnstuk AB.
  • c) De 3 bissectrices van de hoeken in de driehoek.
  • d) Oppervlakte cirkel = \pi \cdot straal^2 .
  • e) Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte.
  • f) Oppervlakte trapezium = \frac{1}{2}(a+b) \cdot h
    of
    Oppervlakte trapezium = \frac{1}{2} x som van de evenwijdige zijden x hoogte.

2) Arceer het buitengebied van \odot(M,3) in deze afbeelding. (1)

Uitwerking:

Begrip

3) Teken punt A(4,3) en teken vervolgens \odot(A,5). (1)

Uitwerking:

  • Hier wordt gevraagd om de cirkel te tekenen met middelpunt A en straal 5 (cm):

4) Aan welke 2 eisen moet een lijn voldoen om de middelloodlijn te zijn van het lijnstuk tussen punten A en B? (2)

Uitwerking:

  • Eis 1: de middelloodlijn is een loodlijn op lijnstuk AB.
  • Eis 2: de middelloodlijn snijdt lijnstuk AB in het midden.

 

5) Liggen de punten van een driehoek op de ingeschreven cirkel of op de omgeschreven cirkel van de driehoek? (3)

Uitwerking:

  • De drie hoeken van een driehoek liggen op de omgeschreven cirkel: de rest van de driehoek ligt binnen de omgeschreven cirkel.
    De ingeschreven cirkel raakt de drie zijden en ligt verder helemaal binnen de driehoek.

 

6) Vul in: de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is 1 : ……. . (4)

Uitwerking:

  • De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is 1 : \pi,
  • of
  • De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is 1 : 3,1415....

 

7) Leg uit waarom de formule voor de oppervlakte van een driehoek en de formule voor de oppervlakte van een parallellogram op elkaar lijken. (6)

Uitwerking:

  • Als je de parallellogram met behulp van een diagonaal door midden deelt, ontstaan er twee dezelfde driehoeken.
  • De oppervlakte van zo’n driehoek is \frac{1}{2} x zijde x bijbehorende hoogte.
  • De oppervlakte van de parallellogram is tweemaal zo groot en dus gelijk aan zijde x bijbehorende hoogte.

Toepassen

8)

  • a) Teken punt M(3,2) en teken \odot(M,4) . (1)
  • b) Kleur de punten die op afstand 4 van punt M liggen en waarvan de afstand tot de y-as minder dan 2 is. (1)

Uitwerking:

  • Zie de afbeelding. De punten die precies op afstand 2 van de y-as liggen zijn hierin getekend als verticale stippellijnen. De punten uit vraag b) zijn dik en rood getekend.

9)

  • a) Teken de punten P(1,0) en Q(6,-1) en kleur alle punten rood die even ver van P als van Q liggen. (2)
  • b) Teken punt R(1,5) en teken \bigtriangleup PQR .
  • c) Teken de omgeschreven cirkel van \bigtriangleup PQR . (2)

Uitwerking:

  • a) De punten die even ver van P als van Q liggen vormen de middelloodlijn van lijnstuk PQ:

  • b) Zie uitwerking vraag c) hieronder.
  • c) In de afbeelding zie je nog een tweede middelloodlijn (op lijnstuk PR). Het punt waar de twee middelloodlijnen elkaar snijden, is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zet je passerpunt daar vast en zet het potlood van de passer in punt Q : de cirkel die je dan tekent, is de omgeschreven cirkel.

10) Gegeven is hoek A : zie afbeelding.

  • a) Kleur alle punten blauw die even ver van de benen van \angle A liggen. (3)
  • b) Teken de punten P(4,0) en teken driehoek OPA.
  • c) Teken de ingeschreven cirkel van \bigtriangleup OPA. (3)

Uitwerking:

  • a) Dit zijn de punten die samen de bissectrice van \angle A vormen. Zie de afbeelding:

  • b) Zie uitwerking vraag c) hieronder.
  • c) In de afbeelding zie je nog een bissectrice getekend, dat is de bissectrice van \angle P. Het punt waar de twee bissectrices elkaar snijden, is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Teken een lijnstuk loodrecht op de x-as en noem het snijpunt met de x-as K. Zet nu je passerpunt vast in het middelpunt en zet het potlood van de passer in punt K : de cirkel die je dan tekent, is de ingeschreven cirkel.

11) Sara meet met een touw de omtrek van de stam van de oude beuk in haar straat. De stam is vrijwel perfect cirkelvormig. De omtrek van de stam is 1,82 meter.

  • a) Wat is de diameter van de stam in centimeters? (4)Helaas is de beuk ziek en wordt hij gerooid. Sara krijgt een schijf van de stam.
  • b) Wat is de oppervlakte, afgerond in dm^2, van de stamschijf? (5)

Uitwerking:

  • a)
    • De omtrek is 1,82 meter, dat is 182 centimeter;
    • De formule is: omtrek cirkel = \pi \cdot diameter;
    • Daarom geldt 182 = \pi \cdot diameter;
    • Aan beide zijden van de = deel je nu door \pi dus \frac{182}{\pi} = diameter;
    • De diameter is 58 centimeter.
  • b)
    • De formule is: oppervlakte cirkel = \pi \cdot straal ^2;
    • De straal is de helft van de diameter:  58:2=29 centimeter;
    • Oppervlakte cirkel is dus \pi \cdot 292=2642 \, cm^2 =26 \, dm^2.
      Tip: Let op dat je in deze laatste stap nog omrekent van cm^2 naar dm^2!

12) Deze figuur is opgebouwd uit onder andere een parallellogram en een trapezium.

  • a) Bereken de oppervlakte van de parallellogram. (6)
  • b) Bereken de oppervlakte van het trapezium. (7) (alleen vwo)
  • c) Bereken de oppervlakte van de totale figuur. (6)

Uitwerking:

  • a)
    • Links in de figuur zie je een parallellogram met zijde 4 + 2 = 6 en bijbehorende hoogte 2 ;
    • De formule is: oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte ;
    • Dus oppervlakte parallellogram = 6 x 2 = 12 .
  • b)
    • Rechts in de figuur zie je een trapezium met evenwijdige zijden van 6 en van 6 - 2 - 1 = 3 lang;
    • De hoogte is 2;
    • De formule is: oppervlakte trapezium = \frac{1}{2} x som van de evenwijdige zijden x hoogte;
    • Dus oppervlakte trapezium = \frac{1}{2} x (6 + 3) x 2 = 9.
  • c) Je kunt dit op drie manieren berekenen.
    • Manier 1:
    • Als je van de parallellogram uit vraag a) het driehoekje met zijde 2 en hoogte 2 afhaalt, houd je van de oppervlakte van de parallellogram 12 - \frac{1}{2} x 2 x 2 = 10 over;
    • De rest van de figuur bestaat dan nog uit een rechthoek van lengte 6 en hoogte 2.
    • De totale oppervlakte is daarom 10 + 6 x 2 = 22.
      Manier 2:
    • De figuur past in een rechthoek van lengte 6 + 6 = 12 en breedte 2.
    • Deze rechthoek heeft oppervlakte 12 x 2 = 24.
    • Maar nu zit er een driehoek te veel in: deze zit links boven en heeft zijde 2 en hoogte 2.
    • De oppervlakte van de getekende figuur is daarom 24 - \frac{1}{2} x 2 x 2 = 22.
      Manier 3 (alleen vwo):
    • De figuur bestaat uit de parallellogram van vraag a) plus het trapezium van vraag b) plus een driehoekje met zijde 1 en hoogte 2 .
    • De totale oppervlakte is: 12 + 9 + \frac{1}{2} x 1 x 2 = 22 .

Heb jij een aanvulling op deze specifieke toets? Klik dan hier.